INTRODUZIONE AI SISTEMI DI SERVIZIO
Spesso nella vita reale , abbiamo a che fare con
delle situazioni in cui viene richiesto un servizio e dove vi sono delle
unità adibite a rendere il servizio , ciascuna di queste unità
può rendere un servizio alla volta. Quando l'unità adibita
è occupata , si formano delle code cioè vi sono richieste
che non possono essere esaudite immediatamente. Ad esempio supponiamo che
ad una centrale telefonica arrivino delle chiamate , se quando arriva una
chiamata una delle linee è libera allora l'utente può iniziare
subito la conversazione , altrimenti deve aspettare che una delle linee
si liberi. Siamo interessati a studiare la lunghezza delle code e a cercare
il numero ottimale di unità adibite a rendere il servizio. A tale
scopo costruiremo un modello matematico in cui l'istante in cui arriva
la richiesta e la durata del servizio sono variabili casuali indipendenti
e identicamente distribuite. La teoria è essenzialmente stocastica.
Parleremo di "CLIENTI" cioè quelle unità animate
o inanimate che chiedono un servizio ; di "SERVITORI" cioè
quelle unità adibite a rendere il servizio , e di "CODE"
cioè dei dispositivi atti a contenere quei clienti che non possono
essere serviti immediatamente e che quindi attendono il proprio turno di
servizio. Chiameremo disciplina di coda il modo con cui , dopo una partenza
, viene scelto il successivo cliente da servire. Considereremo in particolare
tre discipline che indicheremo con F.I.F.O. , L.I.F.O. e RANDOM. La disciplina
F.I.F.O. è quella in cui i clienti vengono serviti in ordine di
arrivo; la L.I.F.O. è quella in cui il successivo cliente da servire
dopo una partenza è l'ultimo arrivato. La disciplina RANDOM è
quella in cui il successivo cliente da servire viene scelto in modo casuale.
La coda d'attesa è caratterizzata da una certa capacità ,
ovvero il limite massimo di clienti che può contenere. Tale limite
può essere nullo , quando a nessun cliente è permesso aspettare
e il cliente che trova il servizio occupato perde la possibilità
di usufruire del servizio. In generale però la capacità della
coda è un intero positivo qualsiasi oppure si può supporre
che sia infinito quando cioè non vi è alcuna limitazione
sulla lunghezza della coda. Chiameremo "ARRIVI" gli istanti in
cui i clienti chiedono il servizio e "PARTENZE" gli istanti in
cui i clienti terminano il servizio; gli intervalli di tempo tra gli arrivi
saranno trattati come variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite
, caratterizzate da una certa funzione di distribuzione. Anche la durata
del servizio è una variabile casuale. Inoltre considereremo il servizio
indipendente dalla domanda. Il rapporto tra il tempo medio di durata del
servizio e l'intervallo medio tra gli arrivi viene detto "INTENSITÀ
DI TRAFFICO" , e sarà denotato con r
. Questo parametro ha una importanza fondamentale nella teoria delle code.
Nel seguito vedremo che se r <
1 il servizio può contenere la domanda senza congestione , mentre
si verifica il contrario quando r >
1. Sebbene r sia adimensionale , tale quantità
è misurata in "erlang" in onore di A.K.ERLANG , uno scienziato
danese considerato il padre della teoria delle code. Una notazione molto
utile è stata introdotta da KENDALL ed è la seguente: GI¤
G¤ N. La prima lettera si riferisce alla
funzione di distribuzione degli intervalli tra gli arrivi; la I che spesso
è omessa , sta ad indicare che ciascun arrivo è indipendente
da gli altri. La terza lettera si riferisce alla funzione di distribuzione
della durata del servizio. N è il numero di servitori. La notazione
G¤ G¤
¥ sta ad indicare un sistema in cui il numero
di servitori è talmente elevato che nessun cliente è costretto
ad aspettare per il servizio. Con la lettera G si indica che la distribuzione
è di tipo generale , ovvero non è meglio specificata. Altrimenti
se la distribuzione è specificata, si può usare M se la distribuzione
è esponenziale negativa; D se è deterministica;
se è la distribuzione di Erlang , la cui densità di probabilità
è:
La distribuzione di Erlang si riduce a quella esponenziale quando k=1. Inoltre essa si riduce alla distribuzione deterministica quando si fa tendere k all'infinito mantenendo costante il rapporto l ¤ k. Chiameremo "STATO DEL SISTEMA" il numero totale di clienti presenti nel sistema , includendo i clienti in attesa di ricevere il servizio e quelli in servizio. Indicheremo con x (t) lo stato del sistema al tempo t ; è chiaro che fissato t , x (t) è una variabile casuale. Siamo interessati a calcolare la probabilità che x (t) sia uguale ad un certo valore n ( intero non negativo ) condizionata dal fatto che al tempo zero vi siano N clienti nel sistema. Denotiamo tale probabilità con
.
Introduciamo la variabile casuale tempo di attesa di un cliente. Essa è data dal tempo trascorso in attesa di un servizio più la durata del servizio. L'intervallo di tempo che intercorre dal momento in cui un cliente trova il servitore inattivo al momento in cui il servitore è di nuovo inattivo sarà chiamato "BUSY PERIOD" o "PERIODO DI OCCUPAZIONE". Il tempo che intercorre dall'inizio di un busy period all'inizio del successivo sarà chiamato "BUSY CYCLE". L'intervallo di tempo che va dal momento in cui il servitore diventa inattivo all'istante in cui il servitore riceve la successiva richiesta sarà chiamato "IDLE PERIOD" o "PERIODO DI INATTIVITÀ" ; quindi un busy cycle è la somma di un busy period e di un idle period. L'intervallo tra successive partenze di clienti serviti sarà chiamato "INTERVALLO DI OUTPUT".