UN TEOREMA SUI NUMERI COPRIMI (dimostrazione di Emanuel Guariglia)

UN TEOREMA SUI NUMERI COPRIMI (dimostrazione di Emanuel Guariglia)

Prima di procedere con la dimostrazione del teorema sotto citato, mi sembra utile fare alcune precisazioni sui sottoinsiemi D(dispari) e P (pari) di N.

Prima di tutto voglio premettere che nell’insieme dei naturali includerò lo 0, convenzione adottata da molti matematici contemporanei, anche se presenta i suoi pro e i suoi contro (per ulteriori informazioni vedi http://www.scuolaitalia.com/eureka/esperti/mat/zero.htm); questa scelta è dettata dal fatto che possiamo considerare lo 0 come un pari, cosa che amplia il campo di applicazione del teorema.

detto questo possiamo procedere con la dimostrazione

Lemma Se un numero naturale k > 1 è divisore di due naturali a e b, con a > b, allora esso è divisore anche della loro differenza.

In simboli:

 

Dimostrazione

Dall’ipotesi si ha che a/k=c e b/k=d; sottraendo membro a membro si ha:

(a-b) /k=c-d

Per dimostrare la tesi basta osservare che

essendo k > 1 (nota proprietà delle disequazioni). Dunque c > d e quindi c-d è un numero naturale.

 

 

Corollario Il lemma precedente si può estendere da N a Z (ma non ci soffermiamo su quest’aspetto perché tale lemma ci serve solo in N).

 

 

 

Teorema Numeri naturali consecutivi sono sempre coprimi (o anche relativamente primi o primi tra loro).

In simboli:

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che due naturali consecutivi n e n+1 non siano primi tra loro; allora esisterà un loro divisore comune k > 1.

In sinboli:

Ma esso in base al lemma dovrà essere divisore della loro differenza, in altre parole di:

n+1-n=1

ma questo è un assurdo perché:

c.v.d.d.