L’ultimo teorema di Fermat.

Consideriamo l’equazione

(1)

e consideriamo le soluzioni che siano terne (a,b,c) di numeri interi a prescindere dalle terne banali (0,0,0), (0,1,1), (1,0,1). Per n=1 la (1) possiede soluzioni non banali che chiameremo terne pitagoriche e l’equazione stessa

si chiama equazione pitagorica perchè, se denotiamo con a , b le misure dei cateti e con c la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, essa esprime il teorema di Pitagora.

Il matematico francese Pierre Fermat scrisse di essere riuscito a dimostrare il seguente teorema ormai noto come l’ultimo teorema di Fermat:

"Se n è un numero maggiore di 2 , l’equazione

è priva di soluzioni non banali"

La dimostrazione di Fermat non è giunta fino a noi e non si sa se Fermat riuscì a dimostrare il teorema oppure no. Lo stesso Fermat e, indipendentemente, Leibnez dimostrarono che il teorema è vero per n=4, Eulero lo dimostrò per n=3 e Legendre e Dirichlet lo dimostrarono per n=5. Il matematico tedesco Kummer credette di aver trovato la dimostrazione ma essa era errata; valeva solo per certi valori di n. Studiando a fondo la sua dimostrazione Kummer scoprì "l’aritmetica degli ideali". Oggi la nozione di ideale è di importanza fondamentale nella teoria degli anelli. Il teorema di Fermat è stato recentemente dimostrato dal matematico A. Wiles. La sua dimostrazione che è molto complessa utilizza le funzioni ellittiche e altri strumenti matematici che sicuramente non erano a disposizione di Fermat.

E’ interessante notare che basta dimostrare che il teorema è vero per n=4 e per ogni numero primo dispari affinchè esso sia vero . Supponiamo che le equazioni e , con p numero primo dispari, sono prive di soluzioni non banali e facciamo vedere che per ogni è priva di soluzioni non banali. Dato che un numero intero maggiore di 1 o è primo o è prodotto di numeri primi positivi, possono presentarsi solo due casi:

1) con . Se avesse una soluzione non banale (a,b,c), allora sarebbe una soluzione non banale di , infatti

2) n=pk, con p numero primo dispari e . Se avesse una soluzione non banale (a,b,c) allora sarebbe una soluzione non banale di .